主题四 让学习错误成为成长的契机

使学生的错误成为资源的前提

学生在学习、思考的过程中有许许多多错误的想法，但是如果这些想法由于种种原因不显现出来，就根本谈不上什么资源化。因而，首要的一步是：让错误浮出水面。

一、重建错误观

改变头脑中根深蒂固的观念是一件十分艰巨的事情。因为人们口头上的理论与行动中的理论常常不一致，口头上的理论往是合理的、倡导的理论，而行动中的理论则支配着教师教学行为的观念，反映在个体解释的、处于无意识水平的表象之中。教师们常常固守不合理的行动中的理论。尽管教师和学生都会说学生在学习中出现的错误是完全正常的，就像一个健康的人一定会感冒一样。但是在师生的实际行动中，仍可以看出片面的错误观的影子：

教育报刊上常常看到这样的例子：课堂上学生出错了，教师处理得十分机智。在场者无不赞叹：真是化腐朽为神奇！其实，“化腐朽为神奇”这句话本身就折射出言说者的观念：错误只是无用的垃圾或有害的“腐朽”，当然毫无价值。课堂中，我不止一次听到类似这样的话：“课上发言出错是好事。把你错误的想法说出来，老师和同学帮你纠正，这样，你的错误就不会出现在作业中、考试中了，这不是很好吗？”学生的沉默是必然的。叫学生如何能体会教师的“苦心”，没有谁愿意当一个靶子的！

活动建议：

（一）讲述数学家犯错误的故事

人们普遍认为，在众多的科学中，数学知识最具有绝对性、确定性、客观性和普遍性。诚如 Bidwell 所说：传统的数学课堂让学生们觉得“数学乃是一切都己发现好了的。”也如美国著名数学家和数学史家 M ·克莱因所说，通常的数学课程使学生产生这样的错误印象：数学家们“几乎理所当然地从定理到定理，数学家是永远正确的”。

M ·克莱因曾指出，历史上数学家所遇到的困难，课堂上的学生同样也会遇到，因而历史对于课堂教学具有重要的借鉴和指导作用。他认为数学家遭遇困难、错误、挫折、失败的经历对学生有着很好的教育意义。英国数学史家 J · Fauvel 则认为数学家的出错故事可以起到“因为知道有错误、有失败的并非只有他们自己而感到欣慰”以及“改变学生的观念”的作用。讲述数学史，真实地讲述数学家出错的故事，有助于学生树立正确的错误观。且让我们记住历史上数学家的错误。

[案例 1]素数判定

17 世纪，法国著名数学家费马（ P· Fermat, 1608-1665)曾得到一个后人以其名字命名的定理：如果 n为素数， a为任意自然数，那么 a2-a是 n的倍数。上述定理的逆命题是否成立呢？费马之后，研究者数不胜数。德国著名数学家莱布尼兹 (G.W.Leibniz, 1646-1716)就曾提出：如果 n不是素数，那么 2n-2就不是 n的倍数。因此，在莱布尼兹看来，当 a=-2时，费马定理的逆命题是成立的：如果 an-a是 n的倍数，那么 n必为素数。无独有偶，中国清代大数学家李善兰 (1811-1882)于 1869年归纳得到了一个判定素数 (李善兰称之为“数根” )的方法：用 2的对数乘已知数，以所得乘积作为对数值，求出相应的真数，从中减去 2。如果余数能被已知数整除，则己知数为素数；否则，它就不是素数。上述方法简单地说来就是：设 n为已知自然数，如果 2 n-2是 n的倍数，那么 n是素数，否则 n就不是素数。一个名叫萨吕斯（ A· Sarrus)的数学家所发现的反例彻底否定了莱布尼兹和李善兰的结论：尽管 2341-2，是 341的倍数，但 341=11× 31却是一个合数！后来人们又相继发现了更多的反例： 561, 645, 1105, 1387, 1729, 1905, 2407，……数论中由不完全归纳得到的结论有时往往并不正确。

像这样，介绍历史上数学家的种种失误、数学发展的曲折艰辛，可以改变学生对错误的错误看法。让他们明白：“高贵”如数学也不过是人类的一种文化活动，任何学习和研究都会遭遇错误、挫折和失败。因此，用数学史来改变学生的错误观，是很有效的方法。

（二）公开的讨论错误

课堂上，教师为了保护出错学生的自尊，常常采取为他们隐瞒的策略：隐瞒出错者的姓名，隐瞒出错的原因，而不采取公开讨论的方法。正是这种隐瞒，让学生增加了对错误的耻辱感，从而无法坦然面对错误。

如果说，分数是学生的隐私，但错误完全可以公之于众。所以在试卷讲评课上，我们可以对典型的错误，详细的出错情况予以展示，让学生们一起进行深入探讨，反而取得了意想不到的效果：学生起初的不解被随后的投入探讨的态度所代替。对错误的认识也更深刻了。

[案例 2]“画圆”的教学

在“画圆”的教学中，在学生们跃跃欲试之际，以往老师往往三令五申让学收起圆规，正襟危坐听老师讲解画圆的注意点，看老师如何画圆。现今有些老师把这一步变成同学通过课前预习交流画圆的注意点，其实质没有多大改变。这样的教学，学生按部就班，课上个个都画出了完美、标准的圆。而这位老师却独辟蹊径，他先让学生用圆规在自己的练习纸上尝试画一个圆。学生动手操作时，老师巡视。然后，老师选择几幅典型的作品放在投影仪上让学生观察： (选择的作品有： 1起点和终点不在同一位置上的； 2把“圆”画成了鸡蛋状的； 3将弧线画得时隐时现、时粗时细的等等。 )看到这些作品 (不知名的 )，学生们哄堂大笑。“你们在笑什么呢？”老师微笑着问，“这些都不是圆形，画错了 !”学生意见一致。随即，老师便让学生分析出现问题的原因，你一言我一语，纷纷发言：甲的圆心没有固定好，所以连不上了；乙画的时候圆规两脚间的距离老在变，半径变了，所以画成了“鸡蛋”；丙用力不均，才会出现问题……错误的原因一个个被学生找出，此时的学生就像炸开了的锅，老师继续问：“画圆时应该注意些什么问题？怎样才能画出一个既规则又美观的圆 ?”同学们情绪高涨、思维活跃，自己总结并概括出了画圆的方法。

如果在此之后，让刚才画错的孩子根据总结的方法重新画一遍（掌握要领之后，一定会比刚才画得好），再一次展示，效果会更好。让孩子们自己感受到自己的改变和成长，因为学习本身就是为了“改变”。这种在学习活动中获得的充实感，从错误走向成功的快乐感，是最激动人心的。这正是课堂错误资源化所追求的境界。这比煞费苦心地不让同学们知道作品的作者是谁，更能保护孩子的自尊。因为真正的自尊来自于成功。

二、创建一个互相支持的课堂

“一个充满互相攀比、敌意和疏远氛围的课堂只会引起学生的焦虑和苦恼，决不能促进学生的智力发展。相反，在一个教师和同学相互支持的课堂里，学生可以建立自尊，增进学习的动力，并且有机会最大限度的发挥学习潜能。”互相支持的课堂是学习错误资源化的重要保证。前面的调查表明，课堂上学生的“封闭”很大程度上是因为害怕同学的嘲笑和教师的否定。良好的师生、生生关系是互相支持的课堂的前提和表现。教师应该着力改变传统的压抑学生主动性、积极性、创造性的教学环境，认同并尽力满足学生的基本情感活动及需求，而不是把自己的观点强加给学生。畅所欲言的课堂氛围会激励学生与教师交流有价值的信息。

（一）民主、平等的师生关系

平等，有两层含义，一是人格地位的平等：地位平等的论述颇多。二是知识面前的平等。

教育理论工作者谁都主张民主平等的师生关系，关于人格实践工作者谁都标榜自己是如何的民主平等。然而，现实总让人存有疑惑。对学生权利的轻视，对学生人格的践踏，随处可见。也许这个话题十分沉重又十分敏感，但是我不得不说：

[案例 3]球童与官员

中央电视台体育频道正在重播进军雅典的中国足球队与马来西亚足球队的比赛。足球场上，正下着倾盆大雨，十多个球童（应该受到特别保护的未成年人）穿着统一的黄色的运动服（质地是最不防水的纯棉），在雨中随着进行曲迈着整齐的步伐走上球场。而与之形成鲜明对比的是：所有的官员都是全副式装，雨衣雨裤 .并且在讲话之时必定有一随从撑着一把雨伞为他档风遮雨。

[案例 4]公开课的等待

一堂公开课的试讲。所有的学生早已严阵以待了，上课铃也已经打了 10分钟。可是，执教老师却对孩子说了一句：“校长也要来听我们的课，我们再等一会儿。”铃声，是凌驾于每个学生之上的规则；校长，则是凌驾于规则之上的神。

有些人的生命比别人更珍贵，有些人的时间比别人更宝贵，有些人的意志可以凌驾于其他人之上。我不知道，在这样的事实面前，我们的孩子怎么能体会到“人生来都是平等的”。

关于知识面前的平等。教师相对而言，是知之甚多者，有着天然的权威。在教师与学生的关系中，教师不应要求学生接受其权威；相反，教师应要求学生与教师共同参与探究，探究学生正在体验的一切。教师应更多地扮演顾问和伙伴的角色，要从居高临下的强势位置上走下来，走到与学生平起平坐平等交流的关系中来。只有这样，才能努力与学生们共同形成一种真诚对话的氛围，才能让学生大胆地表达自己，表达自己的独特想法，表达自己的疑惑、错误。

（二）友好、互助的同学关系

学生之间的良好人际关系有助于共同解决问题，在课堂里为教学活动创造一个愉快的空间。学生课堂上的敞开需要心理上的安全感和保障感，而这一切都是建立在学生之间互相认可、互相关爱、互相支持的基础上的。创建一个互相支持的课堂，良好的同学关系是至关重要的因素。这就要求教师开展一些促进集体凝聚力的活动、增进相互了解的活动等。一个有凝聚力的集体内，所有成员都能友好沟通并和睦相处，而不是仅仅其中少数人能很好的交流，学生们会有安全感和归属感，并能感受到他们受到别人的喜爱和尊重；而学生之间的相互熟悉和相互了解，可以减少拉帮结伙的行为，学生会和更多的同学交流，并接受更多同学的影响，从而可以更积极的投入到学习过程中去。教师要帮助学生学会聆听他人，共同解决问题，更好的与他人合作，这样，“同学的嘲笑”便不再是学生封闭自己的理由。

（摘自施银燕，《课堂学习错误资源化研究——以小学数学为例》，南京师范大学 2004 年教育硕士学位论文）

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